Operasi Dalam Matriks

Matriks adalah suatu kumpulan data yang disusun menurut baris dan kolom dan dituliskan di dalam tanda kurung [ ]. Bilangan-bilangan dalam matriks disebut dengan entri/unsur. Berikut adalah contoh matriks :

Matriks A adalah matriks berukuran m x n, m menunjukkan banyaknya baris dan n menunjukkan banyaknya kolom. Matriks A dapat juga dinotasikan dengan  [a_ij]_mxn atau [a_ij]. Entri yang terletak pada baris i dan kolom j pada matriks A dinyatakan sebagai aij. Transpose dari matriks A dinyatakan dengan dengan A^T didefinisikan sebagai matriks n x m yang didapatkan dengan mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom dari A; sehingga kolom pertama dari A^T adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari A^T adalah baris kedua dari A, dan seterusnya, sehingga diperoleh

Suatu matriks A dengan jumlah baris n dan jumlah kolom n disebut matriks bujursangkar ordo n dan entri a₁₁, a₂₂, …, a_nn disebut sebagai diagonal utama. Jika A adalah sebuah matriks bujursangkar maka trace dari A, yang dinyatakan sebagai tr(A), didefinisikan sebagai jumlah entri-entri pada diagonal utama A.

Terdapat beberapa operasi dalam matriks, yaitu

1. Penjumlahan

Matriks jumlahan dari dua matriks A + B (A dan B mempunyai ukuran sama) adalah matriks dengan entri-entrinya merupakan jumlahan dari entri-entri A dengan entrientri yang bersesuaian pada B.

2. Pengurangan (selisih)

Selisih A – B (A dan B berukuran sama) adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri pada A dengan entri-entri yang bersesuaian pada B.

Jika A =	a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a41 a42 … amn	dan B =	b11 b12 … b1n b21 b22 … b2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b41 b42 … bmn
A + B =	a11+b11 a12+b12 … a1n+b1n a21+b21 a22+b22 … a2n+b2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a41+b41 a42+b42 … amn+bmn
A − B =	a11−b11 a12−b12 … a1n−b1n a21−b21 a22−b22 … a2n−b2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a41−b41 a42−b42 … amn−bmn

Dua matriks yang mempunyai ordo (dimensi) yang berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

Contoh :

A =

1 2 0 -3

dan B =

3 1 -1 2

A + B =	1 2 0 -3	+	3 1 -1 2	=	4 3 -1 -1
A − B =	1 2 0 -3	−	3 1 -1 2	=	-2 1 1 -5

3. Perkalian

a. Jika A adalah matriks mx r dan B adalah matriks r x n maka hasilkali AB adalah matriks m x n yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri pada baris i dan kolom j dari AB, pisahkanlah baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikan entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut dan kemudian jumlahkan hasil yang diperoleh.

Contoh :

b. Jika A adalah matriks sebarang dan c adalah scalar sebarang, maka hasilkalinya cA adalah matriks yang diperoleh dari perkalian setiap entri pada matriks A dengan bilangan c. Matriks cA disebut sebagai kelipatan skalar dari A. Notasi : Jika A = [a_ij] maka (cA)_ij = c(A)_ij = ca_ij.

4. Perkalian blok

Jika A dan B dipartisi menjadi sejumlah submatriks misalnya

maka AB dapat dinyatakan sebagai

dengan syarat ukuran-ukuran submatriks A dan B sedemikian rupa sehingga operasioperasi yang disebutkan dapat dilakukan. Metode perkalian matriks yang dipartisi ini disebut sebagai perkalian blok.


Uploaded by Hafni (110170107)