Determinan

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.

Fungsi determinan

·    Suatu permutasi dari bilangan-bilangan bulat {1, 2, 3, …, n} adalah penyusunan bilangan-bilangan tersebut dengan urutan tanpa pengulangan

Contoh:

Permutasi dari {1, 2, 3} adalah

           (1, 2, 3) (2, 1, 3) (3, 1, 2)

           (1, 3, 2) (2, 3, 1) (3, 2, 1)

Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2, …, n} akan mempunyai n! permutasi.

·        Suatu permutasi (j₁, j₂, …, j_n) dikatakan mempunyai 1 inversi jika terdapat satu bilangan yang lebih besar mendahului suatu bilangan yang lebih kecil.

Contoh:

(6, 1, 3, 4, 5, 2)

•          6 mendahului 1, 3, 4, 5, 2           = 5 inversi

•          3 mendahului 2                          = 1 inversi

•          4 mendahului 2                          = 1 inversi

•          5 mendahului 2                          = 1 inversi

Jadi terdapat 8 inversi dalam permutasi di atas (1, 2, 3, 4) : tidak terdapat inversi

b.    evaluasi determinan dengan reduksi baris

Teorema 1

Misalkan A adalah matriks bujursangkar

Jika A memiliki satu baris nol atau kolom nol,maka

•          det(A) = 0

•          det(A) = det (A^T)

     Teorema 2

Jika A adalah matriks segitiga n´n (segitiga atas, segitiga

bawah atau diagonal), maka det(A) adalah perkalian entri-

entri pada diagonal utamanya

            det(A) = a₁₁a₂₂...a_nn

Teorema 3

Misalkan A adalah matriks bujursangkar

•          Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari perkalian suatu baris atau kolom dengan skalar k ≠ 0 maka   det(B) = k det(A)

•          Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari pertukaran dua baris atau kolom dari A maka det(B) = –det(A)

•          Jika B adalah matriks yang dihasilkan ketika suatu baris ditambahkan dengan kelipatan baris lain atau suatu kolom ditambahkan dengan kelipatan kolom lain dari A, maka det(B) = det(A).

Teorema 4

Misal E adalah matriks elementer berukuran n ´ n,

•          Jika E dihasilkan dari suatu baris I_n dikali k, maka

            det(E) = k

•          Jika E dihasilkan dari pertukaran dua baris pada I_n, maka det(E) = -1

•          Jika E dihasilkan dari suatu baris ditambah kelipatan baris lain di I_n, maka det(E) = 1

Teorema 5

•          Jika A adalah matriks bujursangkar dimana terdapat dua

•          baris atau dua kolom yang saling berkelipatan, maka

•          det(A) = 0

c.     kofaktor

det(A) = a₁₁a₂₂a₃₃ +  a₁₃a₂₁a₃₂ + a₁₂a₂₃a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁

det(A)   = a₁₁ (a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₁₂ (a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₁₃ (a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)

            = a₁₁M₁₁ – a₁₂M₁₂ + a₁₃M₁₃

            = a₁₁c₁₁ + a₁₂c₁₂ + a₁₃c₁₃

Formula ini menyatakan determinan matriks A ekspansi kofaktor berdasarkan baris pertama dari A.

Jika A adalah matriks n´n, Cij kofaktor dari aij, maka

disebut matriks kofaktor dari A.

Transposenya disebut matriks Adjoin dari A, ditulis Adj(A) 

Ekspansi Kofaktor dan Aturan Cramer

Jika A matriks bujursangkar, maka minor dari entri a_ij, dinotasikan dengan M_ij adalah determinan dari submatriks setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A. Kofaktor dari entri a_ij adalah bilangan dinotasikan dengan Cij. 

Posted by : Eva Rahayu (110170106)