TEAM ALJABAR

Selasa, 26 Maret 2013

Tugas Aljabar Linear Elementer

1. Jamaluddin (090170108)
Cara Pengurangan Matriks A-B=C :

$\begin{bmatrix} 6\;\;\;5\;\;\;9\\ 8\;\;\;7\;\;\;4\\ 8\;\;\;4\;\;\;5 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 2\;\;\;4\;\;\;3\\ 1\;\;\;3\;\;\;1\\ 5\;\;\;3\;\;\;4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 6-2\;\;\;5-4\;\;\;9-3\\ 8-1\;\;\;7-3\;\;\;4-1\\ 8-5\;\;\;4-3\;\;\;5-4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4\;\;\;1\;\;\;6\\ 7\;\;\;4\;\;\;3\\ 3\;\;\;1\;\;\;1 \end{bmatrix}$

2. Hafni (110170107)

Cara Penjumlahan matriks A+B=C :

$\begin{bmatrix} 5\;\;\;3\;\;\;6\\ 6\;\;\;5\;\;\;2\\ 4\;\;\;3\;\;\;2 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 4\;\;\;3\;\;\;2\\ 5\;\;\;4\;\;\;3\\ 4\;\;\;4\;\;\;2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 5+4\;\;\;3+3\;\;\;6+2\\ 6+5\;\;\;5+4\;\;\;2+3\\ 4+4\;\;\;3+4\;\;\;2+2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 9\;\;\;6\;\;\;8\\ 11\;\;\;9\;\;\;5\\ 8\;\;\;7\;\;\;4 \end{bmatrix}$

3. Alvinur (090170112)

Cara Pengurangan matriks A-B=C :

$\begin{bmatrix} 3\;\;\;4\;\;\;2\\ 6\;\;\;5\;\;\;3\\ 7\;\;\;5\;\;\;5 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 1\;\;\;3\;\;\;1\\ 5\;\;\;2\;\;\;2\\ 2\;\;\;1\;\;\;4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3-2\;\;\;4-3\;\;\;2-1\\ 6-5\;\;\;5-2\;\;\;3-2\\ 7-2\;\;\;5-1\;\;\;5-4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2\;\;\;1\;\;\;1\\ 1\;\;\;3\;\;\;1\\ 5\;\;\;4\;\;\;1 \end{bmatrix}$

4. Eva Rahayu (110170106)

Cara Penjumlahan matriks A+B=C :

$\begin{bmatrix} 3\;\;\;2\;\;\;5\\ 4\;\;\;6\;\;\;3\\ 3\;\;\;2\;\;\;1 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 4\;\;\;2\;\;\;4\\ 3\;\;\;1\;\;\;6\\ 5\;\;\;5\;\;\;4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3+4\;\;\;2+2\;\;\;5+2\\ 4+3\;\;\;6+1\;\;\;3+6\\ 3+5\;\;\;2+5\;\;\;1+4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 7\;\;\;4\;\;\;7\\ 7\;\;\;7\;\;\;9\\ 8\;\;\;7\;\;\;5 \end{bmatrix}$

5. Basri (090170039)

Cara Penjumlahan matriks A+B=C :

$\begin{bmatrix} 3\;\;\;3\;\;\;4\\ 6\;\;\;5\;\;\;2\\ 3\;\;\;3\;\;\;1 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 3\;\;\;3\;\;\;4\\ 6\;\;\;2\;\;\;3\\ 4\;\;\;8\;\;\;2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3+3\;\;\;3+3\;\;\;4+4\\ 6+6\;\;\;5+2\;\;\;2+3\\ 3+4\;\;\;3+8\;\;\;1+2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 6\;\;\;6\;\;\;8\\ 12\;\;\;7\;\;\;5\\ 7\;\;\;11\;\;\;3 \end{bmatrix}$

6. Cut Fadliyati (110170050)

Cara Penjumlahan matriks A+B=C :
$\begin{bmatrix} 8\;\;\;4\;\;\;3\\ 2\;\;\;5\;\;\;1\\ 4\;\;\;6\;\;\;3 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 1\;\;\;3\;\;\;2\\ 7\;\;\;1\;\;\;3\\ 2\;\;\;3\;\;\;5 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 8+1\;\;\;4+3\;\;\;3+2\\ 2+7\;\;\;5+1\;\;\;1+3\\ 4+2\;\;\;6+3\;\;\;3+5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9\;\;\;7\;\;\;5\\ 9\;\;\;6\;\;\;4\\ 6\;\;\;9\;\;\;8 \end{bmatrix}$

7. Rizki Suwanda (110170035)

Cara Penjumlahan matriks A+B=C :
$\begin{bmatrix} 1\;\;\;4\;\;\;2\\ 3\;\;\;6\;\;\;7\\ 4\;\;\;2\;\;\;5 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 1\;\;\;2\;\;\;5\\ 4\;\;\;3\;\;\;1\\ 5\;\;\;2\;\;\;3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1+1\;\;\;4+2\;\;\;2+5\\ 3+4\;\;\;6+3\;\;\;7+1\\ 4+5\;\;\;2+2\;\;\;5+3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2\;\;\;6\;\;\;7\\ 7\;\;\;9\;\;\;8\\ 9\;\;\;4\;\;\;8 \end{bmatrix}$

8. Rismandar Saputra (110170060)

Cara Penjumlahan matriks A+B=C :
$\begin{bmatrix} 3\;\;\;5\;\;\;4\\ 4\;\;\;5\;\;\;2\\ 6\;\;\;3\;\;\;1 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 4\;\;\;2\;\;\;2\\ 5\;\;\;5\;\;\;8\\ 6\;\;\;7\;\;\;6 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3+4\;\;\;5+2\;\;\;4+2\\ 4+5\;\;\;5+5\;\;\;2+8\\ 6+6\;\;\;3+7\;\;\;1+6 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 7\;\;\;7\;\;\;6\\ 9\;\;\;10\;\;\;10\\ 12\;\;\;10\;\;\;7 \end{bmatrix}$

Senin, 25 Maret 2013

Metode Cramer

jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
$X_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)}, X_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)}, ... , X_{n} = \frac{det(A_{n})} {det(A)}$

dimana A _j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom _j dengan matrik b

Contoh soal: Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini

x₁ + 2x₃ = 6

-3x₁ + 4x₂ + 6x₃ = 30

-x₁ - 2x₂ + 3x₃ = 8

Jawab: bentuk matrik A dan b

A = $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ -3 & 4 & 6\\ -1 & -2 & 3\\ \end{bmatrix}$ b = $\begin{bmatrix} 6\\ 30\\ 8\\ \end{bmatrix}$

kemudian ganti kolom _j dengan matrik b

A₁ = $\begin{bmatrix} 6 & 0 & 2\\ 30 & 4 & 6\\ 8 & -2 & 3\\ \end{bmatrix}$ A₂ = $\begin{bmatrix} 1 & 6 & 2\\ -3 & 30 & 6\\ -1 & 8 & 3\\ \end{bmatrix}$ A₃ = $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 6\\ -3 & 4 & 30\\ -1 & -2 & 8\\ \end{bmatrix}$

dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas

maka,

$x_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)} = \frac{-40} {44} = \frac{-10} {11}$

$x_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)} = \frac{72} {44} = \frac{18} {11}$

$x_{3} = \frac{det(A_{3})} {det(A)} = \frac{152} {44} = \frac{38} {11}$

R=E_r...E₂ E₁ A

dan,

det(R)=det(E_r)...det(E₂)det(E₁)det(E_A)

Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.

Contoh Soal :

A= $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1\\ 2 & 4 & 6\\ \end{bmatrix}$

karena det(A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers.

Blog Kawan

Jasa pembuatan skripsi ekonomi

Jasa pembuatan proposal disertasi ekonomi

Jasa pembuatan skripsi pendidikan

Jasa pembuatan skripsi berkualitas

Jasa pembuatan skripsi terpercaya

Jasa Pembuatan Proposal Disertasi S3

Jasa Pembuatan tesis murah

Jasa Pembuatan Tesis Bahasa inggris

Jasa Pembuatan Proposal Penelitian

Jasa olah data skripsi kuantitatif

Jasa olah data statistik

Jasa analisa data SEM

Jasa olah data analisa jalur

Jasa olah data tesis

Jasa analisis data tesis SPSS

Jasa olah data smartPLS

Jasa olah data online

Jasa olah data murah

Jasa olah data cepat

Jasa olah data eview

Jasa olah data minitab

Jasa olah data terpercaya

Jasa Olah Data SEM

Jasa Olah Data PLS

Jasa Olah Data Path Analysis

Jasa analisa data spss

Jasa Pembuatan Metode Penelitian

Jasa Pembuatan Metodologi Penelitian

Jasa pembuatan Kuesioner Penelitian

Statistics data analysis service

Low cost Statistics data analysis consultant

Fast statistics data analysis consultant

Rental mobil murah bireuen

Rental mobil Avanza bireuen

Jasa antar jemput grab bireuen

Jasa antar jemput mobil bireuen

Hidroponik aceh

Jasa Cat Mobil Murah Bireuen

Ayam Pama IQ aceh

Transpos Matriks

Yang dimaksud dengan Transpos dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.

Contoh: Matriks

A = $\begin{bmatrix} 2 & -5 & 1\\ -1 & 3 & 3\\ 5 & 4 & 8\\ \end{bmatrix}$ ditranspose menjadi A^T = $\begin{bmatrix} 2 & -1 & 5\\ -5 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 8\\ \end{bmatrix}$

Matriks

B = $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7\\ 9 & 5 & 7 & 4\\ 4 & 1 & 5 & 3\\ \end{bmatrix}$ ditranspose menjadi B^T = $\begin{bmatrix} 1 & 9 & 4\\ 3 & 5 & 1\\ 5 & 7 & 5\\ 7 & 4 & 3\\ \end{bmatrix}$

Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:

1. $((A)^T)^T = A$

2. $(A+B)^T = A^T + B^T$ dan $(A-B)^T = A^T - B^T$

3. $(kA)^T = kA^T$ dimana k adalah skalar

4. $(AB)^T = B^T A^T$

Matriks Balikan (Invers)

Orde 2x2

JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan $B = A^{-1}$ ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan $A = B^{-1}$ . Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.

Matriks A = $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}$ dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0

Dengan Rumus =

$A^{-1} = \frac{1} {det (A)}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix} = \frac{1} {ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{d} {ad-bc} & -\frac{b} {ad-bc} \\ -\frac{c} {ad-bc} & \frac{a} {ad-bc} \\ \end{bmatrix}$

Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$

Contoh 1: Matriks

A = $\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix}$ dan B = $\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$

AB = $\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ = I (matriks identitas)

BA = $\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ = I (matriks identitas)

Maka dapat dituliskan bahwa $B = A^{-1}$ (B Merupakan invers dari A)

Contoh 2: Matriks

A = $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}$ dan B = $\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}$

AB = $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \\ \end{bmatrix}$

BA = $\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 17 & 21 \\ 15 & 19 \\ \end{bmatrix}$

Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.

Contoh 3: Matriks

A = $\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \\ \end{bmatrix}$

Tentukan Nilai dari A^-1

Jawab: $A^{-1} =\frac{1} {(3)(2)-(5)(1)}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix} = \frac{1} {6-5}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix} = \frac{1} {1}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix}$

Contoh 4: Matriks

A = $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{bmatrix}$ , B = $\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix}$ , AB = $\begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 9 & 8 \\ \end{bmatrix}$

Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan

$A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix}$ , $B^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & \frac{3} {2} \\ \end{bmatrix}$ , $(AB)^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -\frac{9} {2} & 7 \\ \end{bmatrix}$

Maka

$B^{-1} A^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & \frac{3} {2} \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -\frac{9} {2} & 7 \\ \end{bmatrix}$

Ini membuktikan bahwa $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$

Orde 3x3

A = $\begin{bmatrix} 3 & 2 & -1\\ 1 & 6 & 3\\ 2 & -4 & 0\\ \end{bmatrix}$

kemudian hitung kofaktor dari matrix A
C₁₁ = 12 C₁₂ = 6 C₁₃ = -16

C₂₁ = 4 C₂₂ = 2 C₂₃ = 16

C₃₁ = 12 C₃₂ = -10 C₃₃ = 16

menjadi matrix kofaktor

$\begin{bmatrix} 12 & 6 & -16\\ 4 & 2 & 16\\ 12 & -10 & 16\\ \end{bmatrix}$

cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor di atas, sehingga menjadi

adj(A) = $\begin{bmatrix} 12 & 4 & 12\\ 6 & 2 & -10\\ -16 & 16 & 16\\ \end{bmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A)$

dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A

$\mathit{det(A) = 64}$

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A) = \frac{1}{64} \begin{bmatrix} 12 & 4 & 12\\ 6 & 2 & -10\\ -16 & 16 & 16\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{12}{64} & \frac{4}{64} & \frac{12}{64}\\ \frac{6}{64} & \frac{2}{64} & -\frac{10}{64}\\ -\frac{16}{64} & \frac{16}{64} & \frac{16}{64}\\ \end{bmatrix}$

Pages

TEAM ALJABAR

Labels

Selasa, 26 Maret 2013

Tugas Aljabar Linear Elementer

Senin, 25 Maret 2013

Metode Cramer

Transpos Matriks

Matriks Balikan (Invers)

Orde 3x3

Popular Posts

Statistik

Blog Archive

Followers